Question

3．数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1-a_n+a_na_n+1=0（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：a₁+a₁a₂+a₁a₂a₃+…+a₁a₂…a_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅱ）由a_n+1-a_n+a_na_n+1=0，两边同除以a_na_n+1，得$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=1$，从而可知数列是首项为2，公差为1的等差数列，进而可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）方法一，放缩后，利用等比数列的求和公式，
方法二：放缩法后，利用裂项求和

解答 解（Ⅰ）：由已知可得数列{a_n}各项非零．
否则，若有a_k=0结合a_k-a_k-1+a_ka_k-1=0⇒a_k-1=0，
继而⇒a_k-1=0⇒a_k-2=0⇒…⇒a₁=0，与已知矛盾．
所以由a_n+1-a_n+a_na_n+1=0可得$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=1$．       
即数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是公差为1的等差数列．
 所以$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_1}+（n-1）=n+1$．
所以数列{a_n}的通项公式是${a_n}=\frac{1}{n+1}$（n∈N^*）．   
（Ⅱ） 证明一：因为${a_1}{a_2}…{a_k}=\frac{1}{2•3•…•（k+1）}≤{（\frac{1}{2}）^k}$． 
所以a₁+a₁a₂+a₁a₂a₃+…+a₁a₂…a_n$≤\frac{1}{2}+{（\frac{1}{2}）^2}+…+{（\frac{1}{2}）^n}$=$1-{（\frac{1}{2}）^n}＜1$．
所以a₁+a₁a₂+a₁a₂a₃+…+a₁a₂…a_n＜1．           
证明二：a₁+a₁a₂+a₁a₂a₃+…+a₁a₂…a_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{2×3×4}+…+\frac{1}{2×3×…×（n+1）}$$≤\frac{1}{2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$1-\frac{1}{n+1}＜1$．
所以a₁+a₁a₂+a₁a₂a₃+…+a₁a₂…a_n＜1．

点评 本题以数列递推式为载体，考查构造法证明等差数列，考查了利用放缩法则证明不等式，考查裂项法求和，属于中档题