Question

如图，在四棱锥中，⊥平面，，

．

(1)求证：；

(2)求点到平面的距离．

Answer 1

（1）因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC．

由∠BCD=90⁰，得CD⊥BC，

又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD．

因为PC平面PCD，故PC⊥BC．

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：

易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．

由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．

易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．

（方法二）体积法：连结AC．设点A到平面PBC的距离为h．

因为AB∥DC，∠BCD=90⁰，所以∠ABC=90⁰．

从而AB=2，BC=1，得的面积．

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积．

因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC．

又PD=DC=1，所以。由PC⊥BC，BC=1，得的面积．

由，，得，故点A到平面PBC的距离等于．