Question

【题目】已知圆C：x2+y2+2x+a=0上存在两点关于直线l：mx+y+1=0对称． （Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）直线l与圆C交于A，B两点， =﹣3（O为坐标原点），求圆C的方程．

Answer 1

【答案】解：（I）x2+y2+2x+a=0（x+1）2+y2=1﹣a，圆心（﹣1，0）． ∵圆C：x2+y2+2x+a=0上存在两点关于直线l：mx+y+1=0对称，∴直线过圆心，
∴﹣m+0+1=0m=1，
故m的值为1．
（II）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）
=x1x2+y1y2=2x1x2+x1+x2+1
2x2+4x+1+a=0，
根据韦达定理：x1+x2=﹣2；x1x2= ．
∴1+a﹣2+1=﹣3a=﹣3．
∴圆C的方程是：（x+1）2+y2=4．
【解析】（I）根据圆的对称性判定直线过圆心，先求圆心坐标，再代入直线方程求解；（II）设A、B的坐标，根据向量坐标运算与韦达定理根与系数的关系求解即可．