Question

14．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin2x-2{cos^2}x$．
（1）若$β∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求f（β）的取值范围；
（2）若$tanα=2\sqrt{3}$，求f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，得到f（x）的取值范围．
（2）已知$tanα=2\sqrt{3}$，求解f（α）的表达式，构造正切．可得结论．

解答 解：函数$f（x）=\sqrt{3}sin2x-2{cos^2}x$．
化简可得：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x-1
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1
那么：f（β）=2sin（2β$-\frac{π}{6}$）-1
∵$β∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴2β$-\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2β$-\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]
故得f（β）的取值范围是[-2，1]
（2）函数$f（x）=\sqrt{3}sin2x-2{cos^2}x$．
那么：f（α）=$\sqrt{3}$sin2α-2cos²α=$\frac{2\sqrt{3}sinαcosα-2co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}=\frac{2\sqrt{3}tanα-2}{ta{n}^{2}α+1}$
∵$tanα=2\sqrt{3}$，
∴f（α）=$\frac{2\sqrt{3}×2\sqrt{3}-2}{4×3+1}=\frac{10}{13}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力，函数性质和同角三角函数关系式的计算．属于中档题．