Question

如图F₁，F₂为双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，圆O：x²+y²=a²-b²，过原点的直线与双曲线C交于点P，与圆O交于点M、N，且|PF₁|•|PF₂|=15，则|PM|•|PN|=（　　）

• A、5
• B、30
• C、225
• D、15

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（m，n），代入双曲线的方程，设双曲线的离心率为e，由双曲线的第二定义可得，|PF₁|=em+a，|PF₂|=em-a，运用平方差公式以及圆的半径，化简整理，结合离心率公式和a，b，c的关系，计算即可得到所求值．

解答： 解：设P（m，n），则

m2

a2

-

n2

b2

=1，即有n²=b²（

m2

a2

-1），
设双曲线的离心率为e，由双曲线的第二定义可得，
|PF₁|=em+a，|PF₂|=em-a，
|PF₁|•|PF₂|=15，即为（em+a）（em-a）=15，
m²=

15+a2

e2

，
则|PM|•|PN|=（

m2+n2

-

a2-b2

）（

m2+n2

+

a2-b2

）
=（m²+n²）-（a²-b²）=

15+a2

e2

+b²•

1

a2

•

15+a2

e2

-b²-a²+b²
=

(a2+b2)

a2• c2 a2

（15+a²）-a²=15．
故选：D．

点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查双曲线的第二定义的运用和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．