Question

18．已知四面体ABCD满足$AB=CD=\sqrt{6}，AC=AD=BC=BD=2$，则四面体ABCD的外接球的表面积是7π．

Answer 1

分析 由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以$\sqrt{6}$，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．

解答 解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以$\sqrt{6}$，2，2为三边的三角形作为底面，
且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，
从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，
并且x²+y²=6，x²+z²=4，y²+z²=4，
设球半径为R，则有（2R）²=x²+y²+z²=7，
∴4R²=7，
∴球的表面积为S=4πR²=7π．
故答案为：7π．

点评 本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．