Question

已知函数f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx
（1）若f（x）在x∈[-

1

2

，1）上的最大值为

3

8

，求实数b的值；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f（x）=-x³+x²+b，得f′（x）=-3x²+2x=-x（3x-2），令f′（x）=0，得x=0或x=

2

3

．由此列表讨论能求出b=0．
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x²-2x．由已知得a≤（

x2-2x

x-lnx

）_min．由此利用构造法和导数性质能求出a≤-1．

解答： 解：（1）由f（x）=-x³+x²+b，得f′（x）=-3x²+2x=-x（3x-2），
令f′（x）=0，得x=0或x=

2

3

．
列表如下：

x	- 1 2	（- 1 2 ，0）	0	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1）
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	f（- 1 2 ）	↓	极小值	↑	极大值	↓

∵f（-

1

2

）=

3

8

+b，f（

2

3

）=

4

27

+b，
∴f（-

1

2

）＞f（

2

3

），
即最大值为f（-

1

2

）=

3

8

+b=

3

8

，∴b=0．…（4分）
（2）由g（x）≥-x²+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，
∴lnx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≤

x2-2x

x-lnx

恒成立，即a≤（

x2-2x

x-lnx

）_min．
令t（x）=

x2-2x

x-lnx

，（x∈[1，e]），求导得，t′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，
∴t_min（x）=t（1）=-1，∴a≤-1．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、导数性质、分类讨论思想的合理运用．