Question

设函数f（x）、g（x）的定义域分别为D_J，D_E，且D_J⊆D_E．若对于任意x⊆D_J，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在D_E上的一个延拓函数．设f（x）=e^x（x+1）（x＜0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，给出以下命题：
①当x＞0时，g（x）=e^-x（x-1）；
②函数g（x）有5个零点；
③g（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）；
④函数g（x）的极大值为1，极小值为-1；
⑤?x₁，x₂∈R，都有|g（x₁）-g（x₂）|＜2
其中正确的命题是

 

（填上所有正确的命题序号）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：利用题目提供的信息，可得g（x）在D_J上的解析式，然后通过函数的奇偶性可求得其在对称区间上解析式，综合结论即可得答案．

解答： 解：①由题意得，若x＞0时，则-x＜0，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，
则g（x）=f（x）=e^x（x+1）（x＜0），
∴g（-x）=e^-x（-x+1）=-g（x），
∴g（x）=e^-x（x-1），（x＞0），故①正确；
②∵g（x）=e^x（x+1）（x＜0），此时g′（x）=e^x（x+2），令其等于0，解得x=-2，
且当x∈（-∞，-2）上导数小于0，函数单调递减；
当x∈（-2，0）上导数大于0，函数单调递增，
x=-2处为极小值点，且g（-2）＞-1，
且在x=-1处函数值为0，且当x＜-1是函数值为负．
又∵奇函数的图象关于原点中心对称，故函数f（x）的图象应如图所示：
由图象可知：函数g（x）有3个零点，故②错误；
③由②知函数g（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞），故③正确，；
④由②知函数在x=-2处取得极小值，极小值为g（-2）=e^-2（-2+1）=-e^-2，
根据奇函数的对称性可知在x=2处取得极大值，极大值为g（2）=e^-2，故④错误；
⑤当x＜0时，g（x）=e^x（x+1），则当x→0时，g（x）→1，
当x＞0时，g（x）=e^-x（x-1），则当x→0时，g（x）→-1，
即当x＜0时，-1＜-e^-2＜g（x）＜1，
即当x＞0时，-1＜g（x）＜e^-2＜1，
故有对?x₁，x₂∈R，|g（x₂）-g（x₁）|＜2恒成立，即⑤正确．
故正确的命题是①③⑤，
故答案为：①③⑤

点评：本题主要考查新定义的应用，主要考查利用函数奇偶性求函数解析式的方法，在解题时注意对于新定义的理解，有一定的难度．