Question

10．若F（c，0）为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点，过F点作该双曲线的一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A、B两点，△AOB的面积为$\frac{12{a}^{2}}{7}$，则该双曲线的离心率为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，设两条渐近线的夹角为θ，由两直线的夹角公式，可得tanθ=tan∠AOB，求出F到渐近线y=$\frac{b}{a}$x的距离为b，即有|OB|=a，△OAB的面积可以表示为$\frac{1}{2}$•a•atanθ，结合条件可得a，b的关系，再由离心率公式即可计算得到．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
设两条渐近线的夹角为θ，
则tanθ=tan∠AOB=$\frac{\frac{b}{a}-（-\frac{b}{a}）}{1+\frac{b}{a}•（-\frac{b}{a}）}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
设FB⊥OB，则F到渐近线y=$\frac{b}{a}$x的距离为d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
即有|OB|=a，
则△OAB的面积可以表示为$\frac{1}{2}$•a•atanθ=$\frac{{a}^{3}b}{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{12{a}^{2}}{7}$，
解得$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{4}$，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查双曲线的几何性质，结合着较大的运算量，属于中档题．