Question

已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，
（Ⅰ）求

1

a

+

4

b

的最小值；
（Ⅱ）求x的取值范围．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）利用“1”的代换，化简

1

a

+

4

b

，结合基本不等式求解表达式的最小值；
（Ⅱ）利用第一问的结果．通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1
∴

1

a

+

4

b

=(a+b)(

1

a

+

4

b

)=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a • 4a b

=9，
当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=1，即a=

1

3

，b=

2

3

时，等号成立，
故

1

a

+

4

b

的最小值为9．

（Ⅱ）因为对a，b∈（0，+∞），使

1

a

+

4

b

≥|2x-1|-|x+1|恒成立，
所以|2x-1|-|x+1|≤9，
当 x≤-1时，2-x≤9，∴-7≤x≤-1，
当 -1＜x＜

1

2

时，-3x≤9，∴-1＜x＜

1

2

，
当 x≥

1

2

时，x-2≤9，∴

1

2

≤x≤11，∴-7≤x≤11．

点评：本题考查函数的最值基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．