Question

7．设函数f（x）=|x-4|，g（x）=|2x+1|．
（1）解不等式f（x）＜g（x）；
（2）若2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）＜g（x）等价于（x-4）²＜（2x+1）²，从而求得不等式f（x）＜g（x）的解集．
（2）由题意2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，即H（x）的图象恒在直线G（x）=ax的上，即可求得a的范围．

解答 解：（1）f（x）＜g（x）等价于（x-4）²＜（2x+1）²，∴x²+4x-5＞0，
∴x＜-5或x＞1，
∴不等式的解集为{x|x＜-5或x＞1}；
（2）令H（x）=2f（x）+g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4x-7，x＞4}\\{9，-\frac{1}{2}≤x≤4}\\{-4x+7，x＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，G（x）=ax，
2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，即H（x）的图象恒在直线G（x）=ax的上方．
故直线G（x）=ax的斜率a满足-4≤a＜$\frac{9}{4}$，即a的范围为[-4，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题主要考查绝对值的意义，带由绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．