Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+3，\frac{n}{3}∉{N}^{*}}\\{{a}_{n}，\frac{n}{3}∈{N}^{*}}\end{array}\right.$若S_3n≤λ•3^n-1恒成立，则实数λ的取值范围为[14，+∞）．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+3，\frac{n}{3}∉{N}^{*}}\\{{a}_{n}，\frac{n}{3}∈{N}^{*}}\end{array}\right.$，可得：a_3n-1=a_3n-2+3，a_3n=a_3n-1+3，可得a_3n-2+a_3n-1+a_3n=3a_3n-2+9．a_3n+1=a_3n=a_3n-1+3=a_3n-2+6，又a₁=1，可得a_3n-2=1+6（n-1）=6n-5．即可得出S_3n=（a₁+a₂+a₃）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）=9n²+3n．S_3n≤λ•3^n-1，即9n²+3n≤λ•3^n-1，λ≥$\{\frac{9{n}^{2}+3n}{{3}^{n-1}}{\}}_{max}$．通过作差可得其单调性，即可得出最大值．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+3，\frac{n}{3}∉{N}^{*}}\\{{a}_{n}，\frac{n}{3}∈{N}^{*}}\end{array}\right.$，
可得：a_3n-1=a_3n-2+3，a_3n=a_3n-1+3，可得a_3n-2+a_3n-1+a_3n=3a_3n-2+9．
a_3n+1=a_3n=a_3n-1+3=a_3n-2+6，又a₁=1，
∴a_3n-2=1+6（n-1）=6n-5．
∴S_3n=（a₁+a₂+a₃）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）
=3（a₁+a₄+…+a_3n-2）+9n
=3×$\frac{n（1+6n-5）}{2}$+9n
=9n²+3n．
S_3n≤λ•3^n-1，即9n²+3n≤λ•3^n-1，∴λ≥$\{\frac{9{n}^{2}+3n}{{3}^{n-1}}{\}}_{max}$．
设$\frac{9{n}^{2}+3n}{{3}^{n-1}}$=c_n，则c_n+1-c_n=$\frac{9（n+1）^{2}+3（n+1）}{{3}^{n}}$-$\frac{9{n}^{2}+3n}{{3}^{n-1}}$=$\frac{-2（3{n}^{2}-2n-2）}{{3}^{n-1}}$．
当n=1时，3n²-2n-2＜0，即c₁＜c₂；
当n≥2时，3n²-2n-2＞0，可得：c₂＞c₃＞c₄＞…＞c_n．
因此（c_n）_max=c₂=14．
∴λ≥14．
故答案为：[14，+∞）．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、分类讨论方法、数列的单调性、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．