Question

15．实数X，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-y+1≥0\\ x+3y-3≥0\\ 3x+y-9≤0\end{array}\right.$，若z=ax+y的最大值为2a+3，则a的取值范围是（　　）

• A． [-3，1]
• B． [-1，3]
• C． （-∞，1]
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{3x+y-9=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
即A（2，3），
若z=ax+y的最大值为2a+3，
即A是函数取得最大值的最优解，
由z=ax+y得y=-ax+z，
即目标函数的斜率k=-a，
要使是函数取得最大值的最优解，
若a=0，y=z，满足条件，
若-a＞0，则满足-a≤1，即a＜0，且a≥-1，此时-1≤a＜0，
若-a＜0，则满足-a≥-3，即a＞0，且a≤3，此时0＜a≤3，
综上-1≤a≤3，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．