Question

5．如图，正方形ABCD的边长为1，E是CD边外的一点，满足：CE∥BD，BE=BD，则CE=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由正方形ABCD，得到三角形DCB为等腰直角三角形，且两直角边为1，根据勾股定理求出BD的长，又BE=BD，从而得到BE的长，设CF=x，故BF=BC-CF=1-x，在直角三角形BCF中，由BC=1，CF=x，根据勾股定理表示出BF，再由BE-BF表示出EF，由EC与BD平行，根据两直线平行内错角相等，得出两对内错角相等，利用两对角对应相等的两三角形相似可得三角形BDF与三角形ECF相似，根据相似得比例，把各边的长代入列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而求出相似比，可得出CE的长．

解答 解：$BE=BD=\sqrt{2}$，设CF=x，则$BF=\sqrt{1+{x^2}}$，DF=1-x，
EF=$\sqrt{2}$-$\sqrt{1{+x}^{2}}$，由△BDF～△ECF，得$\frac{EF}{BF}=\frac{CF}{DF}=\frac{EC}{BD}$，
即有$\frac{{\sqrt{2}-\sqrt{1+{x^2}}}}{{\sqrt{1+{x^2}}}}=\frac{x}{1-x}$，所以$\frac{{\sqrt{2}-\sqrt{1+{x^2}}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{x}{1}$，$\frac{{\sqrt{1+{x^2}}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{1-x}{1}$，则$x=2-\sqrt{3}$，
再由$\frac{EC}{BD}=\frac{CF}{DF}$，即$\frac{EC}{{\sqrt{2}}}=\frac{x}{1-x}=\frac{{2-\sqrt{3}}}{{\sqrt{3}-1}}=\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，所以$EC=\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，以及勾股定理的应用，相似三角形是中考的必考内容，证明三角形的相似可以得到其对应边成比例，利用比例式建立已知边与未知边的联系，借助方程的思想来解决问题，利用线段的加减及勾股定理表示出相似三角形的对应边是解本题的关键．