Question

18．已知a，b为正实数．
（1）若$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=a+2b，求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值；
（2）若a+b≤a²b，a+b≤ab²，求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=a+2b，a，b为正实数，可得$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）^{2}$=$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$（a+2b）=3+$（\frac{a}{b}+\frac{2b}{a}）$，利用基本不等式的性质即可得出．
（2）由a+b≤a²b，a+b≤ab²，可得2（a+b）≤ab（a+b），化为2≤ab．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=a+2b，a，b为正实数，
∴$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）^{2}$=$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$（a+2b）=3+$（\frac{a}{b}+\frac{2b}{a}）$≥3+2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{2b}{a}}$=3+2$\sqrt{2}$，当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{b}=\frac{2b}{a}}\\{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{2}+1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$时取等号．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥$\sqrt{2}$+1，其最小值为$\sqrt{2}$+1．
（2）∵a+b≤a²b，a+b≤ab²，
∴2（a+b）≤ab（a+b），化为2≤ab．
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{2}$，当且仅当a=b=$\sqrt{2}$时取等号．
∴a+b的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．