Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点为F₁，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF₁相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF₁相切于点M，连结OM、PF₂，利用三角形中位线定理与圆的切线的性质，证出PF₁⊥PF₂且|PF₂|=2b，然后在Rt△PF₁F₂中利用勾股定理算出|PF₁|．根据椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a，从而建立关于a、b、c的等式，解出b=

2

3

a，c=

5

3

a，进而可得椭圆的离心率的大小．

解答： 解：设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF₁相切于点M，连结OM、PF₂，
∵M、O分别为PF₁、F₁F₂的中点，
∴MO∥PF₂，且|PF₂|=2|MO|=2b，
又∵线段PF₁与圆O相切于点M，可得OM⊥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|=

4c2-4b2

=2

c2-b2

．
∴|PF₁|+|PF₂|=2

c2-b2

+2b=2a，
化简得2ab=a²-c²+2b²=3b²，
∴b=

2

3

a，c=

5

3

a，
∴离心率为e=

c

a

=

5

3

．
故答案为：

5

3

．

点评：本题考查了三角形的中位线定理、圆的切线的性质、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．