Question

已知椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为（1，-1），则椭圆的方程为（　　）

• A、

  x2

  45

  +

  y2

  36

  =1
• B、

  x2

  12

  +

  y2

  4

  =1
• C、

  x2

  24

  +

  y2

  8

  =1
• D、

  x2

  18

  +

  y2

  9

  =1

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆的方程可得

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1．两式相减可得：

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0．把x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2，

y1-y2

x1-x2

=

-1-0

1-4

=

1

3

，代入上式可得：a²=3b²．又c=4，c²=a²-b²，联立解得即可．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆的方程可得

x 2 1

a2

+

y 2 1

b2

=1，

x 2 2

a2

+

y 2 2

b2

=1．
两式相减可得：

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0．
由x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2，

y1-y2

x1-x2

=

-1-0

1-4

=

1

3

，代入上式可得：

2

a2

+

-2

b2

×

1

3

=0，化为a²=3b²．
又c=4，c²=a²-b²，联立解得a²=24，b²=8．
∴椭圆的方程为：

x2

24

+

y2

8

+1．
故选：C．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．