Question

18．已知xy=$\frac{1}{2}$，x，y∈（0，1），则$\frac{2}{1-x}$+$\frac{1}{1-y}$的最小值为10．

Answer 1

分析 消去参数法，消去y后，构造基本不等式即可求解．

解答 解：∵xy=$\frac{1}{2}$，x，y∈（0，1），
∴y=$\frac{1}{2x}$，
由$\frac{2}{1-x}$+$\frac{1}{1-y}$=$\frac{2}{1-x}+\frac{2x}{2x-1}$=$\frac{2}{1-x}+\frac{1}{2x-1}+1$=$\frac{4}{2-2x}+\frac{1}{2x-1}$+1
=$（2-2x+2x-1）×\frac{4}{2-2x}+（2-2x+2x-1）×\frac{1}{2x-1}$+1=$4+\frac{4（2x-1）}{2-2x}$+1+$\frac{2-2x}{2x-1}$+1
≥6+2$\sqrt{\frac{4（2x-1）}{2-2x}×\frac{2-2x}{2x-1}}$=10
当且仅当x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{3}{4}$时取等号．
故答案为10．

点评 本题考查了“构造思想”与基本不等式的性质的运用，属于中档题．