Question

已知过点P（1，2）的直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，则△AOB的面积最小为

 

．

Answer 1

考点：直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：设A（a，0），B（0，b）（a，b＞0）．直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，把点P（1，2）代入可得

1

a

+

2

b

=1．可得a=

b

b-2

（b＞2）．由于S_△OAB=

1

2

ab=

b2

2(b-2)

，变形利用基本不等式即可得出．

解答： 解：设A（a，0），B（0，b）（a，b＞0）．
则直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，
把点P（1，2）代入可得

1

a

+

2

b

=1．
∴a=

b

b-2

（b＞2）．
∴S_△OAB=

1

2

ab=

b2

2(b-2)

=

1

2

(b-2+

4

b-2

+4)≥

1

2

(2

(b-2)• 4 b-2

+4)=4，当且仅当b=4，a=2时取等号．
∴△AOB的面积最小为4．
故答案为：4．

点评：本题考查了直线的截距式、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．