Question

7．定义：$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{1}+…+{p}_{n}}$为n个p₁，p₂，…p_n的“均倒数”，若已知正数数列{a_n}的前n项的”均倒数“为$\frac{1}{2n+1}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{2}$．，$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{2014}{b}_{2015}}$=（　　）

• A． $\frac{2013}{4027}$
• B． $\frac{4026}{4027}$
• C． $\frac{2014}{4029}$
• D． $\frac{4028}{4029}$

Answer 1

分析 直接利用给出的定义得到$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，整理得到Sn=2n2+n．分n=1和n≥2求出数列{a_n}的通项，验证n=1时满足，所以数列{a_n}的通项公式可求；

解答 解：由已知定义，得到$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，
∴a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1）=S_n，
即Sn=2n2+n．
当n=1时，a₁=S₁=3．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+n）-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1．
当n=1时也成立，
∴a_n=4n-1；
∵b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{2}$．
∴b_n=2n-1，
即$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n-1}{b}_{n}}$=$\frac{1}{1×3}$$+\frac{1}{3×5}$$+\frac{1}{5×7}$$+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
$\frac{1}{2}×$（1$-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$$-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$

$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{2014}{b}_{2015}}$=$\frac{2014}{2×2014+1}$=$\frac{2014}{4029}$．
故选；C

点评 本考查了数列的递推关系式的运用，裂项的方法求解数列的和，考查的解题思想较多，但是运用量不大，属于中档题．