Question

6．数列{a_n}满足na_n+1-（n+1）a_n=0，已知a₁=2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{4}{a_{2n}}{a_{2n+1}}$，b_n的前n项和为S_n，求证：S_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （I）通过na_n+1=（n+1）a_n可得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=2，进而可得结论；
（II）通过a_n=2n可得b_n=2n（2n+1），放缩即得$\frac{1}{{b}_{n}}$＜$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并项相加即得结论．

解答 （I）解：∵na_n+1=（n+1）a_n，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{n+1}=\frac{a_n}{n}=\frac{a_1}{1}=2$，
∴a_n+1=2（n+1），∴a_n=2n；
（II）证明：∵a_n=2n，∴a_2n=4n，a_2n+1=2（2n+1），
∴${b_n}=\frac{1}{4}4n•2（2n+1）=2n（2n+1）$，
∴$\frac{1}{b_n}=\frac{1}{2n（2n+1）}＜\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${S_n}=\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}≤\frac{1}{6}+\frac{1}{2}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4n+2}＜\frac{1}{3}$（n∈N^*）．

点评 本题考查求数列的通项及数列的和的范围，利用放缩法及并项相加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．