Question

15．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（$\frac{{a}_{n}+1}{2}$）²（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式a_n和S_n．

Answer 1

分析 S_n=（$\frac{{a}_{n}+1}{2}$）²（n∈N^*），取n=1时，可得a₁=$（\frac{{a}_{1}+1}{2}）^{2}$，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，可得公差a_n-a_n-1=2．再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：∵S_n=（$\frac{{a}_{n}+1}{2}$）²（n∈N^*），
∴取n=1时，可得a₁=$（\frac{{a}_{1}+1}{2}）^{2}$，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$（\frac{{a}_{n}+1}{2}）^{2}$-$（\frac{{a}_{n-1}+1}{2}）^{2}$，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}是等差数列，∴a_n+a_n-1=0舍去，
∴a_n-a_n-1=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
S_n=$（\frac{2n-1+1}{2}）^{2}$=n²．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．