Question

已知圆C：（x-4）²+y²=4，从动圆M：（x-4-7cosθ）²+（y-7sinθ）²=1上的动点P向圆C引切线，切点分别是E，F，则

CE

•

CF

的最小值是（　　）

• A、-

  4

  7

• B、-

  28

  9

• C、

  4

  7

• D、-

  7

  2

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：直线与圆

分析：由数量积的定义可知

CE

•

CF

=r²cos∠ECF=4cos∠ECF，只需cos∠ECF最小，因为∠ECF∈（0，π），且余弦函数此时是单调减函数，所以只需求出∠ECF的最大值，则只需∠EPC最小，在直角三角形PEC中，CE是定值，所以只需PC最小，问题就转化为求动圆M上的点P到C的距离最小的问题了，则d_min=动圆圆心到C的距离减去圆C的半径2．

解答： 解：由已知

CE

•

CF

=r²cos∠ECF=4cos∠ECF，
∴只需求出cos∠ECF的最小值，而∠ECF∈（0，π），此时y=cosx是减函数，
∴只需求出∠ECF的最大值即可，即求出∠EPC的最小值，在Rt△EPC中，sin∠EPC=

2

|PC|

，
∴只需求出|PC|的最大值，而|PC|_max=|MC|+1=

(4+7cosθ-4)2+(7sinθ)2

+1=8，
（sin∠EPC）_min=

1

4

，即cos∠ECP=

1

4

，
∴此时cos∠ECF=cos2∠ECP=2cos²∠ECP-1=-

7

8

，
∴（

CE

•

CF

）_min=4×(-

7

8

)=-

7

2

．
故选D

点评：本题综合考查了数量积的定义、圆的几何性质和三角函数的有关知识以及数形结合的思想，综合性较强，属于中档题．