Question

在平面直角坐标系中，定义点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，若点C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的“直角距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤7，3≤y≤9，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为

 

．

Answer 1

考点：两点间的距离公式

专题：直线与圆

分析：点C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的“直角距离”相等，可得|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|，（*）
由于实数x、y满足0≤x≤7，3≤y≤9，对x分类讨论：当0≤x≤1时，当1≤x≤6时，当6≤x≤7时，再利用两点之间的距离公式即可得出．

解答： 解：∵点C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的“直角距离”相等，
∴|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|，（*）
∵实数x、y满足0≤x≤7，3≤y≤9，
∴当0≤x≤1时，（*）化为1-x+y-3=6-x+9-y，得到y=

17

2

，此时点C的轨迹长度=1；
当1≤x≤6时，（*）化为x-1+y-3=6-x+9-y，化为2x+2y=19，取点M(1，

17

2

)，N(6，

7

2

)，此时点C的轨迹长度=|MN|=

(1-6)2+( 17 2 - 7 2 )2

=5

2

；
当6≤x≤7时，（*）化为x-1+y-3=x-6+9-y，得到y=

7

2

，此时点C的轨迹长度=1．
综上可得：所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为 5

2

+2．
故答案为：5

2

+2．

点评：本题考查了新定义“直角距离”、分类讨论的思想方法、两点之间的距离公式，考查了推理能力和技能数列，属于难题．