Question

4．如图，在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，AB⊥AD，AB=AC=2CD=2，AA₁=$\sqrt{3}$，过AC的平面分别与A₁B₁，B₁C₁交于E₁，F₁，且E₁为A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面ACF₁E₁∥平面A₁C₁D；
（Ⅱ）求锥体B-ACF₁E₁的体积．

Answer 1

分析 （I）连结C₁E₁，则可证四边形A₁D₁C₁E₁是平行四边形，四边形ACC₁A₁是平行四边形，故而AE₁∥DC₁，AC∥A₁C₁，于是平面ACF₁E₁∥平面A₁C₁D；
（II）将棱锥分解成三棱锥E₁-ABC和三棱锥E₁-BCF₁，分别计算两个小三棱锥的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连结C₁E₁
∵棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁=2D₁C₁，A₁B₁∥C₁D₁，
又E₁为A₁B₁的中点，则A₁E₁$\underline{\underline{∥}}$D₁C₁，
∴四边形A₁D₁C₁E₁是平行四边形，∴C₁E₁$\underline{\underline{∥}}$A₁D₁．
又A₁D₁$\underline{\underline{∥}}$AD，∴C₁E₁$\underline{\underline{∥}}$AD．
∴四边形ADC₁E₁是平行四边形，∴AE₁∥DC₁．
∵在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵AA₁∥CC₁，AA₁=CC₁，
∴四边形ACC₁A₁是平行四边形，∴AC∥A₁C₁．
又AE₁?平面ACF₁E₁，AC?平面ACF₁E₁，DC₁?平面A₁C₁D，A₁C₁?平面A₁C₁D，AC∩AE₁=A，DC₁∩A₁C₁=C₁，
∴平面ACF₁E₁∥平面A₁C₁D．
（Ⅱ）解：∵在棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC∥平面A₁B₁C₁D₁，
AC?平面ACF₁E₁，平面ACF₁E₁∩平面A₁B₁C₁D₁=E₁F₁，
∴AC∥E₁F₁，又AC∥A₁C₁，
∴A₁C₁∥E₁F₁．
又E₁为A₁B₁的中点，∴F₁为B₁C₁的中点．
∵底面ABCD为直角梯形，且AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2CD=2，
∴△ABC是边长为2的等边三角形，△E₁B₁C₁是边长为1的等边三角形．
连接CE₁，BE₁，点E₁到平面BCC₁B₁的距离h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
则V_E1-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×\sqrt{3}$=1，
V_E1-BCF1=$\frac{1}{3}{S}_{△BC{F}_{1}}$•h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$．
∴锥体B-ACF₁E₁的体积为V=${V_{{E_1}-ABC}}+{V_{{E_1}-BC{F_1}}}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了线面平行的性质，面面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．