Question

9．已知函数f（x）=2cos（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]上单调，则2sin（φ-$\frac{π}{3}$）的取值范围是（　　）

• A． （-1，1]
• B． （-$\sqrt{3}$，1]
• C． （-2，1]
• D． [-2，1]

Answer 1

分析 根据函数f（x）在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]上单调，求出φ的取值范围，再求函数2sin（φ-$\frac{π}{3}$）的取值范围．

解答 解：∵x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]，
∴2x∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴$\frac{π}{3}$+φ＜2x+φ≤$\frac{5π}{6}$+φ；
又函数f（x）=2cos（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]上单调，
∴$\frac{π}{3}$+φ＞kπ，k∈Z①，
且$\frac{5π}{6}$+φ≤kπ+π，k∈Z②；
解得kπ-$\frac{π}{3}$＜φ≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{3}$＜φ≤$\frac{π}{6}$，
∴-$\frac{2π}{3}$＜φ-$\frac{π}{3}$≤-$\frac{π}{6}$；
∴-$\sqrt{3}$＜2sin（φ-$\frac{π}{3}$）≤-1
2sin（φ-$\frac{π}{3}$）的取值范围是（-$\sqrt{3}$，-1]．
故选：B．

点评 本题考查了正弦、余弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式的性质与应用问题，是综合性题目．