Question

设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，对于任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”，已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为R上的“2014型增函数”，则实数a的取值范围是（　　）

• A、a＜-1007
• B、a＜1007
• C、a＜

  1007

  3

• D、a＜-

  1007

  3

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用奇函数的性质可得f（x）的解析式，再利用新定义对x分类讨论和绝对值的意义即可得出．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0．
设x＜0，则-x＞0．∴f（-x）=|-x-a|-2a=|x+a|-2a，
∴f（x）=-f（-x）=-|x+a|+2a．
∴f（x）=

|x-a|-2a ，x＞0 0  ，x=0 -|x-a|+2a ，x＜0

．
分类讨论：①当x＞0时，由f（x+2014）＞f（x），可得|x+2014-a|-2a＞|x-a|-2a，
化为|x-（a-2014）|＞|x-a|，由绝对值的几何意义可得a+a-2014＜0，解得
a＜

2014

2

=1007．
②当x＜0时，由f（2014+x）＞f（x），
分为以下两类研究：当x+2014＜0时，可得-|x+2014+a|+2a＞-|x+a|+2a，
化为|x+2014+a|＜|x+a|，由绝对值的几何意义可得-a-a-2014＞0，解得a＜1007．
当x+2014＞0，|x+2014-a|-2a＞-|x+a|+2a，化为|x+2014-a|+|x+a|≥|2014-2a|＞4a，
故a≤0时成立．
当a＞0时，a＜

2014

6

=

1007

3

，
③当x=0时，由f（2014）＞f（0）可得|2014-a|-2a＞0，当a≤0时成立，当a＞0时，a＜

2014

3

．
综上可知：a的取值范围是a＜

1007

3

．
故选：C．

点评：本题考查了奇函数的性质、新定义、分类讨论和绝对值的意义等基础知识与基本技能方法，属于难题．