Question

12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosB=2c-b，若O是△ABC外接圆的圆心，且$\frac{cosB}{sinC}•\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{AO}$，则m=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由2acosB=2c-b，利用余弦定理求出A=$\frac{π}{3}$；
由O是△ABC外接圆的圆心，取AB中点D，得$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$，
化简$\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AC}$=m（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$）；
两边都乘以$\overrightarrow{AB}$，得出$\frac{cosB}{sinC}$•c²+$\frac{cosC}{sinB}$•bccosA=$\frac{1}{2}$mc²；
由正弦定理化简，两边同时除以sinC得cosB+cosAcosC=$\frac{1}{2}$msinC，
利用三角形内角和定理与两角和的余弦公式，即可求出m的值．

解答 解：△ABC中，2acosB=2c-b，
∴2a•$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=2c-b，
∴b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$；
又A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$；
由O是△ABC外接圆的圆心，取AB中点D，
则有$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$，如图所示；
∴$\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$=m$\overrightarrow{AC}$=m（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$）；
由$\overrightarrow{OD}$⊥$\overrightarrow{AB}$得$\overrightarrow{OD}$$•\overrightarrow{AB}$=0，
∴$\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$=m（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DO}$）•$\overrightarrow{AB}$
=m$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AB}$+m$\overrightarrow{DO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$m${\overrightarrow{AB}}^{2}$，
即$\frac{cosB}{sinC}$•c²+$\frac{cosC}{sinB}$•bccosA=$\frac{1}{2}$mc²；
由正弦定理化简得$\frac{cosB}{sinC}$•sin²C+$\frac{cosC}{sinB}$•sinBsinC•cosA=$\frac{1}{2}$msin²C，
由sinC≠0，两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC=$\frac{1}{2}$msinC，
∴$\frac{1}{2}$m=$\frac{cosB+cosAcosC}{sinC}$
=$\frac{-cos（A+C）+cosAcosC}{sinC}$
=$\frac{-cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC}{sinC}$
=sinA=sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得m=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量，正弦、余弦定理以及两角和的余弦公式，三角形的内角和定理，是综合题题目．