Question

7．已知圆x²+y²-2x-4y+3=0关于直线ax+by-2=0（a＞0，b＞0）对称，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 圆x²+y²-2x-4y+3=0关于直线ax+by-2=0（a＞0，b＞0）对称，说明直线经过圆心，推出a+2b=2，由$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）（a+2b）及基本不等式，确定最小值．

解答 解：由题设直线ax+by-2=0（a＞0，b＞0）过圆心C（1，2），即a+2b=2，
由$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$）（a+2b）=$\frac{1}{2}$（$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}{b}$+5）≥$\frac{1}{2}（4+5）=\frac{9}{2}$，当且仅当a=b时，取等号．
故答案为：$\frac{9}{2}$

点评 本题考查关于点、直线对称的圆的方程，基本不等式，考查计算能力，属于中档题．