Question

给出以下命题：
①已知向量

OP1

，

OP2

，

OP3

满足条件

OP1

+

OP2

+

OP3

=0，且|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1，则△P₁P₂P₃为正三角形；
②已知a＞b＞c，若不等式

1

a-b

+

1

b-c

＞

k

a-c

恒成立，则k∈（0，2）；
③曲线y=

1

3

x³在点（1，

1

3

）处切线与直线x+y-3=0垂直；
④若平面α⊥平面γ，平面β∥平面γ，则α∥β．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,导数的概念及应用,平面向量及应用

分析：①由条件

OP1

+

OP2

+

OP3

=

0

，则点O为重心，又|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1，则O又为外心，故O为中心，即可判断；
②分离参数，得k＜（a-c）（

1

a-b

+

1

b-c

）恒成立，运用基本不等式，求出最小值4，即可得到k的范围；
③求出导数，代入切点的横坐标即得切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可判断；
④通过面面垂直的性质定理和判定定理，即可判断．

解答： 解：①已知向量

OP1

，

OP2

，

OP3

满足条件

OP1

+

OP2

+

OP3

=

0

，则点O为重心，
又|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1，则O又为外心，故O为中心，即△P₁P₂P₃为正三角形，故①正确；
②已知a＞b＞c，若不等式

1

a-b

+

1

b-c

＞

k

a-c

恒成立，则k＜（a-c）（

1

a-b

+

1

b-c

）恒成立，
由a-b，b-c＞0，则（a-c）（

1

a-b

+

1

b-c

）=（（a-b）+（b-c））（

1

a-b

+

1

b-c

）
≥2

(a-b)(b-c)

•2

1 a-b • 1 b-c

=4，故k＜4，故②错误；
③设曲线y=

1

3

x³在点（1，

1

3

）处切线的斜率为k，y′=x²，则k=1，而直线x+y-3=0的斜率为-1，
则切线与直线x+y-3=0垂直，故③正确；
④若平面α⊥平面γ，平面β∥平面γ，则在α内作一直线m垂直于α，γ的交线，
由面面垂直的性质定理得，m⊥γ，由于β∥γ，则m⊥β，由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故④错误．
故答案为：①③．

点评：本题考查平面向量及应用，基本不等式的应用，以及导数的运用求切线和面面平行、垂直的判定和性质，属于基础题．