Question

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，则点集{P|

OP

=x

OA

+y

OB

，|x|+|y|≤1，x，y∈R}所表示的区域的面积是

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：由|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，

OP

=x

OA

+y

OB

，不妨设

OA

=（2，0），

OB

=（m，n），利用

m2+n2

=2，2m=2，
解得m=1，n=

3

．可得

OP

=x

OA

+y

OB

=(2x+y，

3

y)．令a=2x+y，b=

3

y，解得y=

3 b

3

，x=

1

2

a-

3

6

b，
由|x|+|y|≤1，x，y∈R，可得|

1

2

a-

3

6

b|+

3

3

|b|≤1，对a，b分类讨论，画出图形，可得（a，b）满足的区域为图中阴影部分．即可得出．

解答： 解：∵|

OA

|=|

OB

|=

OA

•

OB

=2，
不妨设

OA

=（2，0），

OB

=（m，n），
∴

m2+n2

=2，2m=2，
解得m=1，n=

3

．
∵

OP

=x

OA

+y

OB

，=x（2，0）+y(1，

3

)=(2x+y，

3

y)．
令a=2x+y，b=

3

y，
解得y=

3 b

3

，x=

1

2

a-

3

6

b，
由|x|+|y|≤1，x，y∈R，可得|

1

2

a-

3

6

b|+

3

3

|b|≤1，
对a，b分类讨论，画出图形，可得（a，b）满足的区域为图中阴影部分．
可得（a，b）满足的区域的面积为4×

1

2

×2×

3

=4

3

．
故答案为：4

3

．

点评：本题考查了向量的运算性质、基本不等式的性质、线性规划的有关知识、的面积，考查了推理能力和计算能力，属于难题．