Question

17．如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，G、H分别为BP、BE、PC的中点．
（1）求证：GH∥平面ADPE；
（2）M是线段PC上一点，且PM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，证明：PB⊥平面EFM．

Answer 1

分析 （1）连结FG、FH，推导出FG∥PE，FH∥BC，从而BC∥AD，进而FH∥AD，平面FGH∥平面ADPE，由此能证明GH∥平面ADPE．
（2）推导出PB⊥EF，PD⊥CB，CB⊥CD，从而CB⊥平面PCD，进而CB⊥PC，推导出PB⊥FM，由此能证明PB⊥平面EFM．

解答 证明：（1）连结FG、FH，
∵F、G、H分别为BP、BE、PC的中点，
∴FG∥PE，FH∥BC，
又ABCD是正方形，∴BC∥AD，∴FH∥AD，
又由已知得AD与PE相交，∴平面FGH∥平面ADPE，
∴GH∥平面ADPE．
（2）在Rt△AEB中，∵AE=1，AB=2，∴BE=$\sqrt{5}$，
在直角梯形EADP中，∵AE=1，AD=PD=2，∴PE=$\sqrt{5}$，∴PE=BE，
又F为PB的中点，∴PB⊥EF，
由已知得PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CB，又CB⊥CD，PD∩CD=D，
∴CB⊥平面PCD，而PC?平面PCD，∴CB⊥PC，
由已知得PB=2$\sqrt{3}$，PF=$\sqrt{3}$，PC=2$\sqrt{2}$，PM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{PM}{PF}=\frac{PB}{PC}$，∴△PFM∽△PCB，∴PB⊥FM，
∴PB⊥平面EFM．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．