Question

18．已知sinα，cosα是关于x的方程8x²+6mx+2m+1=0的两根，α∈（0，π）
（1）求实数m的值；
（2）求$\frac{（cosα+sinα）tanα}{{1-{{tan}^2}α}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用韦达定理、同角三角函数的基本关系，求得m的值，再带入△≥0检验，可得结论．
（2）利用同角三角函数的基本关系化简要求的式子为$\frac{sinαcosα}{cosα-sinα}$，根据条件判断cosα-sinα＜0，求得cosα-sinα的值，从而求得要求式子的值．

解答 解：（1）由题意可得 $sinα+cosα=-\frac{3m}{4}，sinα•cosα=\frac{2m+1}{8}$，∴${（-\frac{3m}{4}）^2}-2•\frac{2m+1}{8}=1$，
解得$m=2或m=-\frac{10}{9}$．
由△=36m²-32（2m+1）≥0，得到9m²-16m-8≥0，∵m=2时△＜0原方程无解，舍去，
∴$m=-\frac{10}{9}$时，△≥0符合条件．
（2）$\frac{（cosα+sinα）tanα}{{1-{{tan}^2}α}}$=$\frac{{（cosα+sinα）\frac{sinα}{cosα}}}{{1-{{（\frac{sinα}{cosα}）}^2}}}=\frac{{（cosα+sinα）\frac{sinα}{cosα}}}{{\frac{（cosα+sinα）（cosα-sinα）}{{{{cos}^2}α}}}}$=$\frac{sinαcosα}{cosα-sinα}$．
∵$sinα+cosα=\frac{5}{6}，sinα•cosα=-\frac{11}{72}$，∴$α∈（\frac{π}{2}，π）$，cosα-sinα＜0，
∴${（cosα-sinα）^2}=1-2sinαcosα=1+\frac{11}{36}=\frac{47}{36}$，∴$cosα-sinα=-\frac{{\sqrt{47}}}{6}$，
∴原式=$\frac{sinαcosα}{cosα-sinα}$=$\frac{{-\frac{11}{72}}}{{-\frac{{\sqrt{47}}}{6}}}$=$\frac{11}{{12\sqrt{47}}}=\frac{{11\sqrt{47}}}{564}$．

点评 本题主要考查韦达定理、同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．