Question

已知|

a

|=|

b

|=λ|

a

+

b

|，且实数λ∈[

3

3

，1]，则

b

与

a

-

b

的夹角取值范围是

 

．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形，且

OA

=

a

，

OB

=

b

，设＜

a

，

b

＞=θ．在△OAC中，由余弦定理可得cos（π-θ）=1-

1

2λ2

．再利用实数λ∈[

3

3

，1]，即可得出θ的取值范围，进而得出答案．

解答： 解：如图所示，
以OA，OB为邻边作平行四边形，且

OA

=

a

，

OB

=

b

，设＜

a

，

b

＞=θ．
∵|

a

|=|

b

|=λ|

a

+

b

|，
∴在△OAC中，由余弦定理可得cos（π-θ）=

| OA |2+| AC |2-| OC |2

2| OA |•| AC |

=

2| a |2- 1 λ2 | a |2

2| a |2

=1-

1

2λ2

．
∴cosθ=

1

2λ2

-1．
∵实数λ∈[

3

3

，1]，
∴(

1

2λ2

-1)∈[-

1

2

，

1

2

]．
∴θ∈[

π

3

，

2π

3

]．
当θ=

π

3

时，∠OBA=∠BAC=

1

2

∠OAC=

1

2

(π-

π

3

)=

π

3

，∴

b

与

a

-

b

的夹角=π-

π

3

=

2π

3

．
当θ=

2π

3

时，∠OBA=∠BAC=

1

2

∠OAC=

1

2

(π-

2π

3

)=

π

6

，∴

b

与

a

-

b

的夹角=π-

π

6

=

5π

6

．
∴

b

与

a

-

b

的夹角取值范围是[

2π

3

，

5π

6

]．
故答案为：[

2π

3

，

5π

6

]．

点评：本题考查了向量的平行四边形法则、余弦定理、向量的夹角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．