Question

已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且f(x)最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图像关于原点对称．

(1)求f(x)和g(x)的解析式；

(2)若h(x)＝f(x)－λg(x)在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

　(1)依题意，设f(x)＝ax(x＋2)＝ax²＋2ax(a>0)．

f(x)图像的对称轴是x＝－1，∴f(－1)＝－1，

即a－2a＝－1，∴a＝1，∴f(x)＝x²＋2x.

∵函数g(x)的图像与f(x)的图像关于原点对称，

∴g(x)＝－f(－x)＝－x²＋2x.

(2)由(1)得h(x)＝x²＋2x－λ(－x²＋2x)＝(λ＋1)x²＋2(1－λ)x.

①当λ＝－1时，h(x)＝4x满足在区间[－1,1]上是增函数；

②当λ<－1时，h(x)图像对称轴是x＝，

则≥1，又λ<－1，解得λ<－1；

③当λ>－1时，同理需≤－1，

又λ>－1，解得－1<λ≤0.

综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．