Question

（本题满分10分）已知函数且

（1）试用含的代数式表示；

（2）求的单调区间；

（3）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；

Answer 1

（1）；（2）当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求导，利用进行求解；（2）求导，利用分类讨论思想讨论两根的大小关系研究其单调区间；（3）构造函数，证明在区间上有零点．

解题思路:1．研究函数的单调性，往往利用其导函数进行证明；2．证明直线与曲线的公共点的个数问题，往往可转化为函数的零点的个数问题．

试题解析：（1）依题意，得

由得

（2）由（1）得

故

令，则或

①当时，

当变化时，与的变化情况如下表：

	+	—	+
	单调递增	单调递减	单调递增

由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为

②由时，，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R

③当时，，同理可得函数的单调增区间为和，单调减区间为

综上：

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；

当时，函数的单调增区间为R；

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为

（3）当时，得

由，得

由（2）得的单调增区间为和，单调减区间为

所以函数在处取得极值。

故

所以直线的方程为

由得

令

易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线，

故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点．

考点：1．函数的单调性；2．函数的零点个数问题；3．导数的应用．

考点分析： 考点1：导数及其应用 试题属性

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