Question

19．计算：
（1）1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+n}$；
（2）$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）由a_n=$\frac{1}{1+2+3+…+n}$=$\frac{1}{\frac{n（n+1）}{2}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a_n=$\frac{1}{1+2+3+…+n}$=$\frac{1}{\frac{n（n+1）}{2}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+n}$=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．
（2）设S_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+2（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$，∴S_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“裂项求和”、“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．