定义在R上的函数g(x)及二次函数h(x)满足:g(x)+2g(-x)＝ex+-9.h(-2)＝h(0)＝1且h(-3)＝-2. (1)求g(x)和h(x)的解析式, (2)对于x1.x2∈[-1,1].均有h(x1)+ax1+5≥g(x2)-x2g(x2)成立.求a的取值范围, (3)设f(x)＝在(2)的条件下.讨论方程f[f(x)]＝a+5的解的个数情� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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定义在R上的函数g(x)及二次函数h(x)满足：g(x)＋2g(－x)＝e^x＋－9，h(－2)＝h(0)＝1且h(－3)＝－2.

(1)求g(x)和h(x)的解析式；

(2)对于x₁，x₂∈[－1,1]，均有h(x₁)＋ax₁＋5≥g(x₂)－x₂g(x₂)成立，求a的取值范围；

(3)设f(x)＝在(2)的条件下，讨论方程f[f(x)]＝a＋5的解的个数情况．

解：(1)∵g(x)＋2g(－x)＝e^x＋－9，①

∴g(－x)＋2g(x)＝e^－x＋－9，即g(－x)＋2g(x)＝2e^x＋－9，②

由①②联立解得，g(x)＝e^x－3.

∵h(x)是二次函数，且h(－2)＝h(0)＝1，可设h(x)＝ax(x＋2)＋1，

由h(－3)＝－2，解得a＝－1，

∴h(x)＝－x(x＋2)＋1＝－x²－2x＋1，

∴g(x)＝e^x－3，h(x)＝－x²－2x＋1.

(2)设φ(x)＝h(x)＋ax＋5＝－x²＋(a－2)x＋6，

F(x)＝g(x)－xg(x)＝e^x－3－x(e^x－3)＝(1－x)e^x＋3x－3，

依题意知，当－1≤x≤1时，φ(x)_min≥F(x)_max.

∵F′(x)＝－e^x＋(1－x)e^x＋3＝－xe^x＋3，在[－1,1]上单调递减，

∴F′(x)_min＝F′(1)＝3－e>0，

∴F(x)在[－1,1]上单调递增，∴F(x)_max＝F(1)＝0，

∴解得－3≤a≤7，

∴实数a的取值范围为[－3,7]．

(3)设t＝a＋5，由(2)知，2≤t≤12.

f(x)的图象如图所示：

设f(x)＝T，则f(T)＝t.

当t＝2，即a＝－3时，T＝－1或者T＝ln 5，f(x)＝－1有2个解，f(x)＝ln 5有3个解；

当2<t<e²－3，即－3<a<e²－8时，T＝ln(t＋3)且ln 5<T<2，f(x)＝T有3个解；

当t＝e²－3，即a＝e²－8时，T＝2，f(x)＝T有2个解；

当e²－3<t≤12，即e²－8<a≤7时，T＝ln(t＋3)>2，f(x)＝T有1个解．

综上所述：

当a＝－3时，方程有5个解；

当－3<a<e²－8时，方程有3个解；

当a＝e²－8时，方程有2个解；

当e²－8<a≤7时，方程有1个解．

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