Question

已知如图所示的多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，BF∥DE，且BF=2DE=4．
（1）求多面体ABCDEF的体积；
（2）在棱长FC上是否存在一点P，使EP∥ABCD？

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由于DE⊥平面ABCD，BF∥DE，可得平面BDEF⊥平面ABCD．由于底面ABCD是边长为2的正方形，可得AC⊥BD，梯形BDEF的面积S=

(DE+BF)×BD

2

．可得多面体ABCDEF的体积=

1

3

×AC×S．
（2）在棱长FC上存在一点P为FC的中点，使EP∥平面ABCD．分别取FC，BC的中点P，Q，连接EP，PQ，DQ．由三角形的中位线定理可得：DE

∥

.

PQ，因此四边形DEPQ是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明．

解答： 解：（1）∵DE⊥平面ABCD，BF∥DE，
∴平面BDEF⊥平面ABCD．
∵底面ABCD是边长为2的正方形，
∴AC⊥BD，
∴多面体ABCDEF的体积=V_{四棱锥A-BDEF}+V_{四棱锥C-BDEF}．
∵梯形BDEF的面积S=

(DE+BF)×BD

2

=

(2+4)×2 2

2

=6

2

．
∴多面体ABCDEF的体积=

1

3

×AC×S=

1

3

×2

2

×6

2

=8．
（2）分别取FC，BC的中点P，Q，连接EP，PQ，DQ．
由三角形的中位线定理可得：PQ

∥

.

1

2

BF，
又∵DE

∥

.

1

2

BF，
∴DE

∥

.

PQ，
∴四边形DEPQ是平行四边形，
∴EP∥DQ，
∵EP?平面ABCD，DQ?平面ABCD，
∴EP∥平面ABCD，
因此在棱长FC上存在一点P为FC的中点，使EP∥平面ABCD．

点评：本题考查了线面面面平行与垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．