Question

已知方程x²+ax+b=0有两个根，其中一根在区间（0，1]内，另一根在区间[-1，0）内，则z=a²+（b+4）²的最小值是（　　）

• A、3
• B、9
• C、4
• D、16

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：令f（x）=x²+ax+b由函数图象可知：f（0）＜0，f（1）＞0，f（-1）＞0三者同时成立，进而求得b＜0，a+b+1＞0，-a+b+1＞0，画出可行域，进而分别求得z的最大和最小值，答案可得．

解答： 解：设f（x）=x²+ax+b由函数图象可知：f（0）＜0，
f（1）≥0，f（-1）≥0三者同时成立，
求解得b＜0，a+b+1≥0，-a+b+1≥0，
由线性规划的知识画出可行域：以a为横轴，b纵轴，
z=a²+（b+4）²几何意义即为区域内的点到（0，-4）的距离的平方
当a=0，b=-1时，z=a²+（b+4）²的最小值是9，
故选B

点评：本题主要考查了一元二次方程根据的分布，以及线性规划的基本知识，考查了学生对基础知识的综合运用，属于中档题．