Question

11．若函数f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为（0，1）．

Answer 1

分析 ∨根据f（x）为奇函数，便有f（-x）=-f（x），从而可以求出a=1，从而得到f（x）=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$，容易判断该函数在（0，+∞）上单调递减，并可判断x＜0时，f（x）＜1，且f（1）=3，从而可由f（x）＞3得到f（x）＞f（1），从而便得到0＜x＜1，这便求出了使f（x）＞3成立的x的取值范围．

解答 解：f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），⇒$\frac{{{2}^{-}}^{x}+1}{{x}^{-x}-a}=-\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-a}$⇒∴1-a•2^x=a-2^x，∴a=1；
∴f（x）=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$，
①x＞0时，x增大时，2^x-1增大，从而f（x）减小；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；
∴由f（x）＞3得，f（x）＞f（1）；
解得0＜x＜1；
②x＜0时，2^x-1＜0，∴f（x）＜1；
∴不满足f（x）＞3；
综上所述，使f（x）＞3的x的取值范围为（0，1）．
故答案为：（0，1）．

点评 考查奇函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，指数函数的单调性，以及根据减函数的定义解不等式的方法．