Question

在△ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且A＜B＜C，则cosAcosC的取值范围是（　　）

• A、（-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ]
• B、[-

  3

  4

  ，

  1

  4

  ]
• C、（-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ）
• D、（-

  3

  4

  ，

  1

  4

  ）

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：解三角形

分析：根据三个角成等差数列求得B，进而利用两角和公式把cosAcosC转化为关于A的三角函数，最后根据A的范围求得取值范围．

解答： 解：∵A，B，C等差，
∴A+B+C=3B=180°
∴B=60°，A∈（0，60°）
cosAcosC
=cosAcos（120°-A）
=cosA（cos120°cosA+sin120°sinA）
=cos120°[

1

2

（1+cos2A）]+sin120°[

1

2

sin2A]
=（-

1

4

）+

1

2

（cos120°cos2A+sin120°sin2A）
=-

1

4

+

1

2

cos（120°-2A）
∵120°-2A∈（0，120°）
∴cos（120°-2A）∈（-

1

2

，1）
∴cosAcosC∈（-

1

2

，

1

4

），
故选：C．

点评：本题主要考查了两角和与查的余弦函数，三角函数恒等变换的应用．考查了学生分析和推理的能力．