Question

已知直线2x+y-3=0与曲线y=

a

x

（a≠0）有两个不同的交点A、B，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：若直线2x+y-3=0与曲线y=

a

x

（a≠0）有两个不同的交点A、B，则方程组

2x+y-3=0 y= a x

有两组不同的解，即2x+

a

x

-3=0有两个根，即2x²-3x+a=0有两个不同的根，即△=9-8a＞0，结合a≠0，可得答案．

解答： 解：若直线2x+y-3=0与曲线y=

a

x

（a≠0）有两个不同的交点A、B，
则方程组

2x+y-3=0 y= a x

有两组不同的解，
即2x+

a

x

-3=0有两个根，
即2x²-3x+a=0（a≠0）有两个不同的根，
故△=9-8a＞0，解得a＜

9

8

，且a≠0，
故实数a的取值范围是：（-∞，0）∪（0，

9

8

），
故答案为：（-∞，0）∪（0，

9

8

）

点评：本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，其中将直线和曲线交点个数问题转化为方程组解的个数问题，是解答的关键．