Question

15．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n是数列{$\frac{1}{lg{a}_{n}•lg{a}_{n+1}}$}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）用a_n与s_n的关系得，a_n+1=9S_n+10，a_n=9S_n-1+10，两式作差即可证得数列{a_n}是以10为首项，10为公比的等比数列，进而求得a_n=a₁q^n-1=10ⁿ，
（2）lga_n=n，采用裂项求和，即可求得T_n．

解答 解：（1）依题意，当n=1时，a₂=9S₁+10=9×10+10=100；
当n≥2时，由a_n+1=9S_n+10，a_n=9S_n-1+10，
可得a_n+1-a_n=9a_n，即a_n+1=10a_n，此式对于n=1时也成立．
∴数列{a_n}是以10为首项，10为公比的等比数列，
∴a_n=a₁q^n-1=10ⁿ；
（2）lga_n=n，
$\frac{1}{lg{a}_{n}•lg{a}_{n+1}}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
${T}_{n}=（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$．

点评 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生对数列基础知识的综合把握．