Question

19．已知-$\frac{π}{2}$＜x＜0，sinx+cosx=$\frac{1}{5}$．
（Ⅰ）求sinx-cosx的值；
（Ⅱ）求4sinxcosx-cos²x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平方，转化求解sinxcosx，通过sinx-cosx的符号，利用平方转化求解即可；
（Ⅱ）利用地一问的结果，求出正弦函数以及余弦函数的值，然后求解即可．

解答 解：（Ⅰ）因为$sinx+cosx=\frac{1}{5}$，
所以$1+2sinxcosx=\frac{1}{25}$，$2sinxcosx=-\frac{24}{25}$，…（3分）
因为$-\frac{π}{2}＜x＜0$，所以sinx＜0，cosx＞0，
所以sinx-cosx＜0，${（sinx-cosx）^2}=1-2sinxcosx=\frac{49}{25}$，
所以$sinx-cosx=-\frac{7}{5}$．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$\left\{\begin{array}{l}sinx+cosx=\frac{1}{5}\\ sinx-cosx=-\frac{7}{5}\end{array}\right.$，解得$sinx=-\frac{3}{5}$，$cosx=\frac{4}{5}$，$tanx=-\frac{3}{4}$．…（9分）
4sinxcosx-cos²x=$\frac{{4sinxcosx-{{cos}^2}x}}{{{{sin}^2}x+{{cos}^2}x}}$=$\frac{4tanx-1}{{{{tan}^2}x+1}}$=$-\frac{64}{25}$．…（12分）

点评 本题考查三角函数化简求值，考查计算能力．