Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦点为F₁、F₂，以F₁F₂为直径的圆与双曲线在第一象限内的渐近线交于P点，直线F₁P的斜率为

1

2

，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出直线F₁P的方程、直线F₂P的方程，联立可得P（

3

5

c，

4

5

c），代入y=

b

a

x，可得

b

a

=

4

3

，即可求出双曲线的离心率．

解答： 解：由题意，PF₁⊥PF₂，
∵直线F₁P的斜率为

1

2

，
∴直线F₂P的斜率为-2，
∴直线F₁P的方程为y=

1

2

（x+c），直线F₂P的方程为y=-2（x-c），
联立可得P（

3

5

c，

4

5

c），
代入y=

b

a

x，可得

b

a

=

4

3

，
∴e=

1+( b a )2

=

5

3

．
故答案为：

5

3

．

点评：本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定a，b之间的关系是关键．