Question

已知函数f（x）=

x2，x≤0 f(x-2)，x＞0

，g（x）=f（x）-x，则函数g（x）的零点是0，1和

 

．

Answer 1

考点：函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：当0＜x≤2时，-2＜x-2≤0，可得f（x）=（x-2）²∈[0，4）．同理x∈（2，4]，f（x）=（x-4）²
∈（0，4]，x＞4，f（x）＜4．如图所示，当x≤0时，由x²=x；当0＜x≤2时，由（x-2）²=x，；当2＜x≤4时，由（x-4）²=x．当x＞4，f（x）＜4，与y=x无交点．即可得出．

解答： 解：当0＜x≤2时，-2＜x-2≤0，∴f（x）=（x-2）²∈[0，4），同理x∈（2，4]，f（x）=（x-4）²∈（0，4]，x＞4，f（x）＜4．
如图所示，
当x≤0时，由x²=x，解得x=0；
当0＜x≤2时，由（x-2）²=x，解得x=1；
当2＜x≤4时，由（x-4）²=x，解得x=

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当x＞4，f（x）＜4，与y=x无交点．
综上可得：函数g（x）的零点是0，1和

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故答案为：

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点评：本题考查了分段函数的图象与性质、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与数形结合的思想方法，属于难题．