Question

椭圆C_1：

x2

a2

+

y2

b2

=1与椭圆C_2：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的交点在坐标轴上的射影恰好为这两个椭圆的焦点，则这两个椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，可得两椭圆在第一象限的交点为（c，c），代入椭圆方程，进一步可得e⁴-3e²+1=0，即可求出椭圆的离心率．

解答： 解：由题意，可得两椭圆在第一象限的交点为（c，c），
代入椭圆方程，可得

c2

a2

+

c2

b2

=1，
∴b²c²+a²c²=a²b²，
∴（a²-c²）c²+a²c²=a²（a²-c²），
∴e⁴-3e²+1=0，
∵0＜e＜1，
∴e=

5 -1

2

．
故答案为：

5 -1

2

．

点评：本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，确定a，c的关系是关键．