Question

设O为坐标原点，F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P满足∠F₁PF₂=60°，|OP|=

7

a，则双曲线的渐近线方程为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：假设|F₁P|=x，进而分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得c²+5a²=14a²-2c²，求得a和c的关系，进而求得a和b的关系，即可求得渐近线的方程．

解答： 解：假设|F₁P|=x
∵OP为三角形F₁F₂P的中线，
∴根据三角形中线定理可知x²+（2a+x）²=2（c²+7a²），
整理得x（x+2a）=c²+5a²，
由余弦定理可知x²+（2a+x）²-x（2a+x）=4c²，
整理得x（x+2a）=14a²-2c²，
进而可知c²+5a²=14a²-2c²，
求得3a²=c²
∴c=

3

a，
∴b=

2

a，
∴渐近线为y=±

2

x，
故答案为：y=±

2

x．

点评：本题将解析几何与三角知识相结合，主要考查了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题．