Question

设函数f（x）的图象关于y轴对称，又已知f（x）在（0，+∞）上为增函数，不等式f（ax+1）≤f（x）对x∈[

1

2

，1]恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,分类讨论,推理和证明

分析：由题意，将ax+1与x化到同一个单调区间，讨论a．

解答： 解：∵函数f（x）的图象关于y轴对称，
又∵f（x）在（0，+∞）上为增函数，
则①a≥0时，ax+1≥1，则f（ax+1）≤f（x）对x∈[

1

2

，1]恒成立不能成立；
②a＜0时，a+1≤ax+1≤

1

2

a+1，
（Ⅰ）0≤a+1≤1，即-1≤a≤0时，
若使ax+1≤x恒成立，则

1

2

a+1≤

1

2

，
则a≤-1，则a=-1．
（Ⅱ）若-1≤a+1＜0，即-2≤a＜-1时，
此时

1

2

a+1＜

1

2

，
则若使不等式f（ax+1）≤f（x）对x∈[

1

2

，1]恒成立，
则-ax-1≤x对x∈[

1

2

，1]恒成立，
即（-a-1）x≤1对x∈[

1

2

，1]恒成立，
则-a-1≤1，
则a≥-2．
综上所述，-2≤a≤-1．

点评：本题应用到了转化的思想及分类讨论的思想，属于中档题．